МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра МО САПР
Использование факторного анализа для построения рейтинга банков.
Курсовая работа
студентов второй группы
третьего курса
факультета прикладной
математики и информатики
Бескоровайного А.А. и
Лейнова В. А.
Научный руководитель:
Ковалев М.М.
Минск, 1997.
Содержание
Введение
3
Методология факторного анализа
4
Описание программы
8
Приложение
9
Формат файлов
9
Таблица исходных данных
9
Факторная матрица
10
Матрица факторного отображения
11
Графическое представление
12
Введение
В факторном анализе предполагается, что наблюдаемые переменные являются
линейной комбинацией некоторых латентных (гипотетических или ненаблюдаемых)
факторов. Некоторые из этих факторов допускаются общими для двух и более
переменных, а другие -- характерными для каждого параметра в отдельности.
Применительно к построению банковских рейтингов реальную картину состояния
дает методика, основанная на применении двухфакторного анализа, которая
позволяет представить банки точками на плоскости, координатными осями которой
являются [построенные] факторы, что особенно удобно для составления
динамических рейтингов, когда при анализе состояния системы во времени точки,
указывающие на состояние банков, превращаются в диаграммы.
Методология факторного анализа.
Необходимо попытаться наиболее полно проанализировать разнообразные показатели,
характеризующие в нашем случае состояние банков. Для этого необходимо свести их
к меньшему числу некоторых факторов. Представим каждый рейтинговый показатель z
j как линейную комбинацию гипотетических факторов:
Zj=aj1F1+aj2F2+...+ajmFm (j=1,2...n), где
Fi – значение i-го фактора для данной (j-ой) компоненты;
aji – вес фактора i в компоненте j;
m – количество факторов;
n – количество показателей.
Можно выделить следующие этапы построения факторной матрицы:
1. Создаем исходную матрицу {{xij}} размерности (n * m),
где m – количество характеристик, а n – количество исследуемых банков.
2. Строим корреляционную матрицу R={{rij}},
имеющую размерность m * m:
2.1 Строим ковариационную матрицу: C=XT*X/n :
2.2 Строим корреляционную матрицу:
R={{rij}},
2.3 На основе построенной корреляционной матрицы строим
редуцированную корреляционную матрицу:
3. В методе главных факторов на 1-ом этапе вычислений ищут коэффициенты при
первом факторе так, чтобы сумма вкладов в суммарную общность была
максимальной
Максимум V1 должен быть обеспечен при условии
Чтобы максимизировать функцию n переменных воспользуемся методом множителей
Лагранжа, с помощью которого приходим к выводу, что искомая функция является
ничем иным как максимальным собственным значением уравнения
det(R-lE)=0 (2),
где R- редуцированная корреляционная матрица, полученная в пункте 2.
Далее, подставив найденное значение l1 и получив одно из возможных
решений (q11 ,q21, ... ,
qn1) уравнения (2), являющихся в свою очередь собственным вектором,
соответствующим данному собственному значению и, для удовлетворения выражению
(1), разделив на корень из суммы их квадратов и умножив на квадратный корень из
собственного значения, получим
что представляет собой искомый коэффициент при факторе F1 в факторном
отображении пункта 1.
l1 вычисляется по формуле:
l1=max{p1j}, где вектор p=R*q1
Вектор q1 находится при помощи следующего итерационного процесса:
Вычисляем R, R2, R4,... до тех пор, пока не будет
выполняться условие |b(i)-b(i/2)|<e, где b
(i) вектор, j-ый элемент которого равен частному от деления
суммы j-ой строки матрицы Ri на максимальную из сумм элементов строк
матрицы Ri , а в качестве e берется заранее выбранная точность
вычислений. По окончании процесса в качестве вектора q берется вектор a(i)
.
4.Для определения коэффициентов при втором факторе F2 необходимо
максимизировать функцию
что делается аналогично вычислениям для 1-го фактора, только вместо матрицы R
используется матрица
Полученную факторную матрицу F размерности m*2 вращаем путем
умножения на матрицу поворота
,
где a-угол поворота, изменяющийся от 0 до p/2 с шагом p/720.
Окончательный поворот будет произведен на угол, при котором выполнится
критерий Варимакс:
Где r — число факторов.
Умножив справа исходную матрицу Х на построенную Fпов, получим
окончательную матрицу, показывающую расположение банков в новых координатах
(факторах F1 , F2).
Описание программы.
Для компьютерной реализации описанного выше метода нами, с помощью среды
Delphi 2.0, была создана программа rating, функционирующая под управлением
операционной системы Windows-95.
1. После запуска программа предлагает пользователю загрузить исходные данные
о состоянии банков за некоторые периоды времени. Исходные файлы хранятся в
специальном формате (см. приложение 1).
2. Данные загружаются в таблицы (по годам), где и могут быть просмотрены
(см. приложение 2)
В прилагаемом ниже примере исходными данными является файл по состоянию на
1995 код со следующими показателями, характеризующими банки :
a1=Активы
a2=Капитал
a3=Капитал/активы в %
a4=.Вложения в другие банки
a5=Вложения в экономику
a6=Вложения всего
3. По нажатию соответствующей кнопки на панели управления программой,
будут построены и отображены матрицы факторного отображения (см приложение 4)
,за каждый из периодов времени. Данные матрицы образуются из факторных
матриц, описывающих вклад каждого из показателей в общий фактор (см.
приложение 3)
4. По желанию пользователя может быть построен график, показывающий
положение банков на факторной плоскости и динамику их развития во времени
(см. приложение 5).
Приложение.
1. Формат файлов
Файлы, используемые в нашей программе представляют собой текстовые файлы, в
которых в качестве разделителей используются пробелы.
В первом столбце файла хранятся названия обрабатываемых банков, а в первой
строке – названия показателей, характеризующих их деятельность.
2. Таблица исходных данных
3. Факторная матрица
Показатель
F1
F2
a1=Активы
0.940
0.264
a2=Капитал
0.949
0.198
a3=Капитал/активы в %
0.829
0.436
a4=Вложения в другие банки
0.602
0.539
a5=Вложения в экономику
0.834
0.425
a6=Вложения всего
0.922
0.335
4.Матрица факторного отображения
5. Графическое представление
Прямоугольной областью обозначается положение банка на факторной плоскости по
состоянию на 1995 год, а круглой областью такого же цвета обозначается
положение того же банка по состоянию на 1996 год.
Главная
2.2 Строим корреляционную матрицу:
R={{rij}}, 
2.3 На основе построенной корреляционной матрицы строим
редуцированную корреляционную матрицу:
3. В методе главных факторов на 1-ом этапе вычислений ищут коэффициенты при
первом факторе так, чтобы сумма вкладов в суммарную общность была
максимальной
Максимум V1 должен быть обеспечен при условии
Чтобы максимизировать функцию n переменных воспользуемся методом множителей
Лагранжа, с помощью которого приходим к выводу, что искомая функция является
ничем иным как максимальным собственным значением уравнения
det(R-lE)=0 (2),
где R- редуцированная корреляционная матрица, полученная в пункте 2.
Далее, подставив найденное значение l1 и получив одно из возможных
решений (q11 ,q21, ... ,
qn1) уравнения (2), являющихся в свою очередь собственным вектором,
соответствующим данному собственному значению и, для удовлетворения выражению
(1), разделив на корень из суммы их квадратов и умножив на квадратный корень из
собственного значения, получим
что представляет собой искомый коэффициент при факторе F1 в факторном
отображении пункта 1.
l1 вычисляется по формуле:
l1=max{p1j}, где вектор p=R*q1
Вектор q1 находится при помощи следующего итерационного процесса:
Вычисляем R, R2, R4,... до тех пор, пока не будет
выполняться условие |b(i)-b(i/2)|<e, где b
(i) вектор, j-ый элемент которого равен частному от деления
суммы j-ой строки матрицы Ri на максимальную из сумм элементов строк
матрицы Ri , а в качестве e берется заранее выбранная точность
вычислений. По окончании процесса в качестве вектора q берется вектор a(i)
.
Полученную факторную матрицу F размерности m*2 вращаем путем
умножения на матрицу поворота
,
где a-угол поворота, изменяющийся от 0 до p/2 с шагом p/720.
4.Матрица факторного отображения
5. Графическое представление
Прямоугольной областью обозначается положение банка на факторной плоскости по
состоянию на 1995 год, а круглой областью такого же цвета обозначается
положение того же банка по состоянию на 1996 год.
