Лабораторная работа: Определение показателей производительности труда и себестоимости единицы продукции

Графиком интервального распределения является гистограмма. Построим график распределения предприятий:

Рис. 2.1 Гистограмма распределения заводов по производительности труда.

Найдем среднее значение признака по формуле для интервального ряда:

 ,

где – среднее значение признака;

xi значение признака на интервале (середина интервала);

mi частота повторения признака на интервале

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 2.12 Расчетная таблица для расчета среднего

 = 4370,7 / 36 = 121,41 т / чел.

Найдем дисперсию признака по формуле:

 ,

где  – дисперсия признака.

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 2.13 Расчетная таблица для расчета дисперсии

 = 29601,75 / 36 = 822,27 (т / чел.)2

Среднее квадратичное отношение  т / чел.

Коэффициент вариации .

Коэффициент вариации меньше 33% значит выборка однородная.

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, для группировки мода находиться по формуле :

гдех0 начальное значение модального интервала;

fMo , fMo-1 , fMo+1 частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

h – длина интервала.

 т / чел.

Найдем медиану выборки по формуле для интервального ряда :

гдех0 начальное значение медианного интервала;

f’Mе-1 – накопленная частота в интервале предшествующем медианному

fMе – частота появления признака в медианном интервале;

h – длина интервала.

Найдем медиану выборки

 т / чел.

Практическая работа №3

1. Имеются следующие данные о структуре и динамике производства на заводе стройдеталей в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Определите структуру производства в плановом году.

2. Фактическое и требуемое распределение рабочих по тарифным разрядам представлено в табл. 3.2

Таблица 3.2

Постройте график ряда распределения фактически работающих 115 рабочих и сравните его с требуемой по составу работ структурой квалификаций.

Как называется этот график ряда распределения?

3. Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Решение:

1) Определим средневзвешенный по элементам структуры индекс роста продукции.

В этом случае весами будут выступать удельные веса видов продукции (выраженные в долях):

I = S(i * dпр / 100)

Тогда удельный вес одной группы продукции можно найти как отношение произведения индивидуального индекса и удельного веса к средневзвешенному индексу:

dпл = (i * dпр) / I

Найдем удельные веса продукции в плановом году. Результаты расчетов представим в таблице 3.3

Таблица 3.3 Расчет структуры продукции в плановом периоде

2) Найдем удельный вес i-го тарифного разряда (di) как отношение численности рабочих данного разряда (ni) к общей численности рабочих (Sn):

di = ni / Sn * 100%

Например, для перового разряда:

d1 = 10 / 115 * 100 = 8,7 %

Рассчитаем фактическую структуру распределения рабочих по тарифным разрядам.

Таблица 3.4

Построенный график называется сравнительной диаграммой.

По диаграмме видим, что фактическая структура рабочих перераспределена в сторону низких разрядов по сравнению с требуемой структурой. На лицо нехватка высококвалифицированных кадров.

3) Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Найдем долю более крупной части в общей совокупности:

d1 = 100 / (100 + 50) * 100% = 66,67 % или 2/3

Найдем долю меньшей части в общей совокупности:

d2 = 50 / (100 + 50) * 100% = 33,33 % или 1/3

Практическая работа №4

Таблица 4.1

Рассчитайте методом моментов среднюю зарплату рабочих.

Определите модальное значение средней зарплаты.

Найдите медиану ряда распределения.

Решение:

Математическое ожидание распределения находиться как начальный момент первого порядка:

Для интервального ряда в качестве xi будут выступать середины интервалов.

Mx = (190 * 10 + 300 * 30 + 500 * 50 + 700 * 60 + 900 * 145 + 1100 * 110 + 1300 * 80 + 1500 * 15) / 500 = 455900 / 500 = 911,8 руб.

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, для интервального ряда мода находиться по формуле :

гдех0 начальное значение модального интервала;

fMo , fMo-1 , fMo+1 частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

h – длина интервала.

Модальным является интервал с наибольшим числом рабочих (800 – 1000 руб.)

 руб.

Медиана выборки находиться по формуле для интервального ряда :

гдех0 начальное значение медианного интервала;

f’Mе-1 – накопленная частота в интервале предшествующем медианному

fMе – частота появления признака в медианном интервале;

h – длина интервала.

Медианным интервалом является интервал в котором накопленная частота превышает половину выборки. Для приведенного в табл. 4.1 ряда такой интервал 800 – 1000 руб.

Найдем медиану выборки

 руб.

Практическая работа №5

В соответствии с макетом по данным табл. 2.1 постройте группировку предприятий по признакам: Х – производительность труда, Y – себестоимость единицы продукции.

Вычислите общую, внутригрупповые и межгрупповую дисперсии фондовооруженности труда; среднюю из внутригрупповых. Проверьте сложением дисперсий правильность Ваших расчетов.

Вычислите коэффициент детерминации.

Сделайте краткие выводы.

Решение:

Разделим выборку на 5 классов. Величины интервалов определим из формул:

 ,  .

 ,  .

Составим корреляционную таблицу

Таблица 5.1

Значения в столбце  и строке  задают последовательность точек, которая иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака (у) от факторного признака (х) – эмпирическую линию регрессии.

Общая и межгрупповая дисперсии находятся по формулам :

где  - межгрупповая дисперсия;

  - общая дисперсия.

 - групповые средние;

 - общая средняя;

ni - частота i-ой группы;

yi – i-й вариант признака;

fi частота i-го варианта.

Общая дисперсия показывает вариацию результативного признака под воздействием всех факторов. Межгрупповая дисперсия показывает вариацию результативного признака, обусловленную вариацией группировочного. Средняя из внутригрупповых показывает вариацию результативного признака под воздействием факторов неучтенных при группировке. Средняя из внутригрупповых находиться по формуле средневзвешенной.

Все три вида дисперсий связаны правилом сложения трех дисперсий

 = +

Таблица 5.2 Вспомогательные расчеты для расчета межгрупповой дисперсии

 = 277527,95 / 36 = 7709,11

Таблица 5.3 Вспомогательные расчеты для расчета общей дисперсии

 = 512351,8 / 36 = 17820,82

Найдем внутригрупповую дисперсию по первой группе

Таблица 5.4 Расчетная таблица для расчета дисперсии по первой группе

 = 79013,63 / 7 = 11287,66

Найдем внутригрупповую дисперсию по второй группе

Таблица 5.5 Расчетная таблица для расчета дисперсии по второй группе

 = 157680,22 / 11 = 14334,57

Найдем внутригрупповую дисперсию по третьей группе

Таблица 5.6 Расчетная таблица для расчета дисперсии по третьей группе

 = 86818,95 / 10 = 8681,89

Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе

Таблица 5.7 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе

 = 16411,15 / 5 = 3282,23

Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе

Таблица 5.8 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе

 = 6276,74 / 3 = 2092,25

Найдем среднюю из внутригрупповых :

= (11287,66 * 7 + 14334,57 * 11 + 8681,89 * 10 + 3282,23 * 5 + 2092,25 * 3) / 36 =346200,68 / 36 = 9616,69

Проверим правило сложения дисперсий

 + =

7709,11 + 9616,69 = 17325,8

 = 17820,82

Т.е. правило сложения дисперсий выполняется.

Эмпирический коэффициент детерминации равен :

= 7709,11 / 17820,82 = 0,433

Т.е. 43,3 % вариации результативного признака объясняется вариацией факторного признака. Связь между показателями средняя.

Практическая работа №6

На основе данных табл. 2.1 и расчетов себестоимости (С) и производительности труда (ω) выполните следующие операции по расчету линии регрессии :

- нанесите на график корреляционного поля данные по 36 заводам;

- сделайте вывод о возможной форме связи между себестоимостью продукции и производительностью труда;

- для выбранной формулы с помощью метода наименьших квадратов рассчитайте величины коэффициентов;

- нанесите на график корреляционного поля полученную теоретическую линию регрессии;

- рассчитайте для данной формы связи необходимые показатели, характеризующие тесноту связи (корреляционное отношение или коэффициент корреляции) между себестоимостью продукции и производительностью труда.

Решение:

Построим корреляционное поле

По графику можно предположить наличие обратной связи между производительностью труда (х) и себестоимостью единицы продукции (у).

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b :

По исходным данным рассчитываем Sх , Sу, Sух , Sх2 , Sу2.

Таблица 6.1

Найдем дисперсию переменных:

= 15625,9 – 121,082 = 966,75

= 862068,6 – 919,102 = 17325,8

Найдем параметры a и b уравнения линейной регрессии :

– 2,8

919,10 + 2,8 · 121,08 = 1261,03

Уравнение регрессии :

= 1261,03 – 2,8 · х

С увеличением средней производительности труда на 1 т / чел. себестоимость одной тонны уменьшается на 2,8 руб.

Нанесем линию регрессии на график корреляционного поля.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

 – 0,667

Т.к. коэффициент близок к – 0,7, то связь средняя, близкая к сильной, обратная.

Практическая работа №7

Изменение объемов товарооборота и цен в 1985-1990 гг. приведено табл.7.1

Таблица 7.1

Рассчитайте:

а) показатели динамики объема товарооборота за эти годы (абсолютные приросты, темпы роста и прироста, их средние величины);

б) постройте график, определите вид функции и проведите операцию аналитического выравнивания. Теоретическую линию регрессии нанесите на график.

Решение:

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Абсолютный прирост базисный:

Di баз = Yi – Y1 ,

где Y1 – размер показателя в первом году, Yi – размер показателя в i-ом году. Абсолютный прирост цепной:

Di цеп = Yi – Yi-1 ,

где Yi–1 – размер показателя в предшествующий i-му год.

Темп роста базисный:

Тр баз = (Yi / Y1)·100 .

Темп роста цепной:

Тр цеп = (Yi / Yi–1)·100 .

Темп прироста базисный:

Тпр баз = Тр баз – 100 .

Темп прироста цепной:

Тпр цеп = Тр цеп – 100 .

Рассчитанные показатели сведем в таблицу 7.2

Таблица 7.2 Показатели динамики объема товарооборота

Нанесем данные на график динамики :

Рис. 7.1. Исходные данные.

По графику динамики можно предположить линейную зависимость между показателями.

Для определения основной тенденции ряда произведем выравнивание ряда динамики с помощью уравнения прямой:

Yi теор = а0 + а1ti ,

где Yi теор рассчитанное выровненное значение производства электроэнергии, после подставления в уравнение значения ti . Для нахождения а0 и а1 решим следующую систему.

Для решения системы составим таблицу:

Таблица 7.3

а0 = 4590 / 6 = 765 и а1 = 970 / 70 = 13,857 .

Таким образом, f(t) = 765 + 13,857·t , для t= –5, –3, …, +3, +5, или f(t) = 668 + 27,714·t , для t = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6. а1 = 27,714 – показатель силы связи, т.е. за период 6 лет происходило увеличение товарооборота на 27,714 млн. руб. ежегодно. Изобразим исходный и выровненный ряды

Рис. 7.2. Исходный и выровненный ряды

По графику видно, что линейная функция очень точно совпадает с исходными данными.

Практическая работа №8

Имеются следующие данные о продаже картофеля на рынках города за 2 квартала (табл. 8.1).

Таблица 8.1

На основе приведенных данных определите:

а) индекс средних цен;

б) индекс цен в постоянной структуре продаж;

в) индекс влияния на среднюю цену структурных изменений (изменения удельного веса рынков) в продаже картофеля;

г) изменение средних цен (в абсолютных величинах) в целом и за счет влияния отдельных факторов.

Решение:

Индексом переменного состава в статистике называют отношение двух средних величин. Найдем индекс переменного состава по следующей формуле:

,

где  – индекс переменного состава;

 – средняя цена картофеля в отчетном периоде;

 – средняя цена картофеля в базисном периоде;

p1 – цена на картофель в отчетном периоде;

p0 – цена на картофель в базисном периоде;

q1 – физический объем проданного картофеля в отчетном периоде;

q0 – физический объем проданного картофеля в базисном периоде.

.

Индекс цен постоянного состава найдем как общий индекс цен по формуле:

,

где Ip – индекс цен.

Итак,

 .

Индекс влияния структурных сдвигов находится по формуле :

.

Взаимосвязь индексов выражается формулой:

 = Ip · Iвл.стр.сдв. .

Изменение средней себестоимости в целом :

Δ = –

Δ = 8,377 8,05 = 0,327 руб. за 1 кг

Изменение средней цены под влиянием изменения цены по разным рынкам:

Δ(Δp) = ·Ip –

Δ(Δp) = 8,05 * 1,047 – 8,05 = 0,378 руб. за 1 кг

Изменение средней цены под влиянием изменения структуры продаж :

Δ(стр.) =  – ·Ip

Δ(стр.) = 8,377 – 8,05 * 1,047 = – 0,051 руб. за 1 кг