Реферат: Зведення та групування даних

а) виконати перевірку статистичної значимості оцінок параметрів, знайдених за методом найменших квадратів, та знайти інтервали довіри для параметрів b0,b1;

б) знайти коефіцієнти еластичності, пояснити їх зміст;

в) знайти коефіцієнти кореляції та детермінації, за допомогою знайдених коефіцієнтів описати вплив розглядуваного фактору на результат;

г) виконати перевірку моделі на адекватність;

д) знайти нтервальні прогнози індивідуального значення для будь-якого значення незалежної змінної. 

Для десяти філій маємо зафіксовані значення показників y, x :

                                                                                                     Таблиця 17.

Розв'язання.

Важливою задачею є вибір раціонального типу регресійно моделі. Конкретна аналітична форма зв’язку між економічними показниками згідно з простою регресійною моделлю вибирається на підставі змістовного тлумачення цього зв’язку.

Якщо регресійна модель вимірює зв’язок між двома змінними, то кожну пару спостережень над цими змінними можна зобразити у двовимірній системі координат:

Аналіз зображеної множини точок дозволяє зробити висновок про наявність лінійного зв’язку між кількістю клієнтів банку та кредитовим оборотом, тобто для характеристики дано залежності варто обрати лінійну функцію.

Нехай залежність між кредитовим оборотом та чисельністю клієнтів банку  описується  простою лінійною моделлю y=β0+β1x+u, де y- кредитовий оборот; х -  чисельність клієнтів банку; u – стохастична складова, яка вводиться до моделі з метою урахувати наявність впливу факторів, які не входять до моделі, β0 ,  β1 –параметри моделі .

Згідно з гіпотезою про лінійний зв’язок через кореляційне поле точок можна провести принаймні кілька прямих ліній, які різняться своїми параметрами b0 та b1. Щоб певна пряма адекватно описувала фактичну залежність, необхідно обрати такий метод оцінювання параметрів моделі, щоб відхилення фактичних значень від розрахункових били мінімальними.

У цьому раз мінімізації підлягає сума квадратів відхилень:  Це є сутністю методу найменших квадратів.

Розрахунков значення кредитового обороту можна знайти, скориставшись такою моделлю парної лінійної регресії: =b0+b1x.

Щоб оцінити параметри моделі b0 та b1 методом 1МНК, запишемо систему нормальних рівнянь

          Параметри регрес розраховуються за формулами:

, 

Параметр b1  вказує на скільки одиниць у середньому зміниться у зі зміною х на одиницю, а параметр b0 – чому дорівнює у, якщо х=0 ( при умові, що змінна х може набувати нульових  значень ).

Необхідні розрахунки:

Таблиця 18.

Маємо:

Модель лінійно парної регресії має вигляд: у=0,98х+2. Оскільки вільний член b0=2≠0, то величина кредитового обороту не строго пропорційною до кількості клієнтів банку. Кількісна оцінка параметра b1=0,98 показує, що граничне збільшення кредитового обороту при зростанні чисельності клієнтів банку на одного становить 0,98 млн. грн.

Еластичність кредитового обороту щодо кількості клієнтів банку визначається коефіцієнтом еластичності

Значення цього коефіцієнта слід тлумачити так: при збільшенні кількості клієнтів банку на 1% кредитовий оборот гранично зросте на 0,73 %.

Параметри регресії у невеликих за обсягом сукупностях здатні до випадкових коливань. Тому здійснимо перевірку їх істотності або статистичної значимості за допомогою t –критерію Стьюдента:

де оцінки дисперсій помилок та параметрів відповідно; значення критерію для кожного з параметрів.

Критичне значення критерію Стьюдента для рівня значимості α=0,05 ( задається дослідником ) та n-k=10-2 ступенів вільності ( k – кількість параметрів ) знаходимо за допомогою таблиць t – розподілу Стьюдента. Оскільки tкр .< tфак. , то коефіцієнт регрес вважається статистично значимим, тобто з ймовірністю 0, 95 вплив чисельност клієнтів банку на кредитовий оборот визнається істотним.

 Для перетину b0 критичне значення більше  фактичного значення критерію Стьюдента, тобто оцінка перетину статистично не значима.

Для того, щоб визначити, як оцінки параметрів  пов’язані з параметрами, потрібно побудувати нтервали довіри для параметрів узагальненої регресійної моделі, тобто нтервали в які з заданою ймовірністю потрапляють їхні оцінки.

Довірчі меж коефіцієнта регресії : з ймовірністю 0,95.

Довірчі меж вільного члена:  зі ймовірністю 0,95.

Щоб відповісти на питання наскільки значним є вплив змінної х на у, знайдемо значення коефіцієнта кореляції, значення якого знаходиться між –1 та +1:

Значення лінійного коефіцієнта кореляції  0,91 близьке до одиниці, тому можна зробити висновок про досить тісний прямий ( r >0 ) зв’язок між кількістю клієнтів банку та величиною кредитового обороту.

Загальну дисперсію результативної ознаки можна розкласти на дві частини - дисперсію, що пояснює регресію, та дисперсію помилок:

Поділивши обидв частини на загальну дисперсію, отримаємо:

Перша частина цього виразу являє собою частину дисперсії, яку не можна пояснити через регресійний зв’язок, друга - частину дисперсії, яку можна пояснити, виходячи з регресії. Вона називається коефіцієнтом детермінації і використовується як критерій адекватності моделі, бо є мірою пояснювальної сили незалежної змінної:

Постільки значення коефіцієнта детермінації близьке до одиниці, то можна вважати, що побудована модель адекватна тобто зв’язок між кредитовим оборотом та чисельністю клієнтів банку істотний. ( ).

Інший критерій стотності зв’язку – критерій Фішера. Він використовується найчастіше і да відповідь на питання щодо адекватності моделі, коли значення коефіцієнта детермінації має не явно виражене граничне значення, наприклад, 0,5: 0,45: 0,44 н.

Перевірка модел на адекватність за F – критерієм Фішера складається з таких етапів:

1.         Розраховуємо величину  F – критерію:

      В цій формулі  n, k –  кількість спостережень та кількість параметрів відповідно.

2.         Задаємо рівень значимості, наприклад, α =0,05. Тобто, ми вважаємо, що можлива помилка для нас становить 0,05, це означає, що ми можемо помилитися не більш, ніж у 5% випадків, а в 95% випадків наші висновки будуть правильними.

3.         На цьому етапі за статистичними таблицями  F – розподілу Фішера з ( k-1, n-k) ступенями вільності та рівнем значимості 100(1-α)% знаходимо критичне значення : Fкр=5,32,

4.         Оскільки, Fкр<Fфакт, то зі ймовірністю 0,95 ми стверджуємо, що побудована нами модель є адекватною тобто зв’язок істотний.

2.         За даними про рівень ефективності економіки та надійність ділового партнерства для семи країн східної Європи оцінити щільність зв’язку між цими ознаками.

Таблиця 19.

Розв’язання.

Для оцінки щільності зв'язку між ознаками порядкової (рангової) шкали використовують коефіцієнт рангової кореляції r , який за змістом ідентичний лінійному коефіцієнту кореляції. Найбільш поширена формула Спірмена

, де dj відхилення рангів факторної (Rx) та результативної (Ry) ознак; n кількість рангів.

Визначимо для кожної країни значення рангів таким чином, щоб ранг країни з найменшим значенням показника був присвоєний найнижчий ранг і т. д. В нашому випадку сума квадратів відхилень рангів становить , а коефіцієнт рангової кореляції

Таблиця 20.

Значення коефіцієнта рангової кореляції свідчить про наявність прямого і досить помітного зв'язку між зазначеними параметрами ризику іноземного інвестування економіки. Критичне значення коефіцієнта рангової кореляції для α =0,05 та n=7 становить , що значно менше фактичного. Отже, істотність зв'язку доведена з імовірністю 0,95.

3. За даними опитування 200 інвесторів побудовано комбінаційний розподіл респондентів за віком та схильністю до ризику. До групи ризикових віднесено респондентів, які мають намір придбати цінні папери, незважаючи на ризик, обережні не уявляють ризику без гарантій, не ризикові уникають ризику взагалі.

Таблиця 21.

Проаналізувати комбінаційний розподіл робітників, оцінити щільність зв’язку між віком нвесторів та схильністю до ризику за допомогою коефіцієнта взаємної спряженості. Перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95, зробити висновок.

Розв’язання.

Концентрація частот навколо діагоналі з верхнього лівого кута у правий нижній свідчить про наявність стохастичного зв’язку.

Для оцінки щільності зв’язку обчислимо коефіцієнт спряженості Чупрова, тому що кількість груп за факторною ознакою – віком та результативною – тип інвестора щодо схильності до ризику однакова: mx  = 3, my = 3. Обчислимо значення квадратичної спряженості Пірсона :

Фактичне значення показника значно перевищує критичне, яке ми знайдемо за таблицями для заданої імовірності 0,95 та числа ступенів свободи

k = ( mx 1 )( my 1 ) = ( 3 – 1 )( 3 – 1 ) = 4  Отже, стотність зв’язку між віком респондентів та схильністю їх до ризику доведена з мовірністю 0,95.

Коефіцієнт взаємної спряженості:  тобто зв’язок між ознаками помірний.

Ряди динаміки

1. Вивантаження вагонів за відділенням залізниці (тис. ум. ваг.) характеризується даними:

Таблиця 22.

Провести згладжування ряду динаміки методом тричленної та чотиричленної плинно середньої. Зробити висновок про тенденцію обсягів вивантаження вагонів за відділенням залізниці.

Розв’язання.

Тенденція - деякий загальний напрямок розвитку. Очевидно, що в окремі місяці вивантаження вагонів зменшувалося в порівнянні з раніше досягнутим рівнем.

Для виявлення загальної тенденції розвитку іноді використовують так звані плинн середні, тобто середні укрупнених інтервалів, утворених шляхом послідовного виключення початкового члена інтервалу і заміни його черговим членом ряду динаміки.

Рухлив тричленні середні вивантаження вагонів за відділенням залізниці ( тис. ум. ваг. ):

Таблиця 23.

У даному прикладі як укрупнений інтервал узятий період у три місяці. Перша рухлива середня розрахована з даних про вивантаження вагонів за січень, лютий, березень, друга - з даних за лютий, березень, квітень і т. д. Конкретн значення рухливих середніх відносять до середини інтервалу. Новий ряд динаміки чітко показує, що обсяг вивантаження вагонів поступово збільшується, чого не можна було сказати на основі місячних даних.

Таблиця 24.

При парному числі членів ряду, що входять в укрупнений інтервал, середина його не збігається з конкретним  періодом чи датою. Так, при чотиричленному інтервал середина першого буде знаходитися між другим і третім членами ряду, середина другого між третім і четвертим і т.д.

При розрахунку рухливих середніх з парного числа членів ряду виконується  так зване центрування рухливих середніх, тобто віднесення їх до визначеного періоду чи дати. З цією метою з рухливих середніх обчислюються у свою чергу рухлив двочленні середні. Середина цього нового інтервалу, що охоплює первинні рухлив середні, обчислені з парного числа членів ряду динаміки, завжди збігається з конкретним періодом чи датою.

В цьому випадку новий ряд динаміки також показує, що обсяг вивантаження вагонів поступово збільшується.

2. Динаміка експорту цукру ( тис. т ) характеризується даними:

Таблиця 25.

a)         описати тенденцію зростання експорту цукру лінійним трендом, пояснити зміст параметрів трендового рівняння;

b)         припустивши, що виявлена тенденція збережеться, визначити очікувані обсяги експорту в 2004 році;

c)         з мовірністю 0,95 визначити довірчі інтервали прогнозного рівня.

Розв’язання.

Більш вживаним прийомом вивчення загальної тенденції в рядах динаміки є аналітичне вирівнювання. При вивченні загальної тенденції методом аналітичного вирівнювання виходять з того, що зміни рівнів ряду динаміки можуть бути з тим чи іншим ступенем точності наближення виражені визначеними математичними функціями. В нашому прикладі ми побудуємо лінійний тренд, який характеризуватиме тенденцію зміни експорту цукру.

Лінійний тренд  має вигляд уt=a+bt, де уt - рівні ряду, звільнені від коливань, вирівняні по прямій; а - початковий рівень ряду в момент чи  період, прийнятий за початок відліку часу; b - середній абсолютний приріст (середня зміна за одиницю часу), константа тренда.

Розраховуються параметри трендових рівнянь методом найменших квадратів. Для лінійної функц параметри знаходять із системи рівнянь:

 , .

Система рівнянь спрощується, якщо початок відліку часу (t =0) перенести в середину динамічного ряду. Тоді значення t , розміщені вище середини, будуть негативними, а нижче - позитивними. При непарному числі членів ряду змінної t присвоюється значення з інтервалом одиниця: -2, -1, 0, 1, 2; при парному - з інтервалом два: -5, -3, -1, 1, 3, 5. В розглядуваному приклад п’ять рівнів ряду, тому маємо наступні розрахунки:

Таблиця 26.

В обох випадках åt = 0, а система рівнянь приймає вид:  ,  .

Значення  можна визначити за формулою для непарної кількості членів ряду

  Звідси, ,

Отже,  тобто середній рівень експорту цукру становив 43,8 тис. т. Щорічно експорт цукру зростає у середньому на 3,9 тис. т. За умови, що комплекс причин, який формує тенденцію, ближчим часом не зміниться, можна продовжити тенденцію за межі динамічного ряду. Очікуваний обсяг експорту цукру в 2004 році становить у2004 = 43,8 + 3,9 . 3 = 55,5 тис. т.

Це точкова оцінка прогнозу. Інтервальна оцінка прогнозу, тобто довірчі інтервали, визначаються з деякою імовірністю за формулою  ± tsp, де sp - помилка прогнозу, t - довірче число (відношення Стьюдента), v - період випередження.

Помилка прогнозу для обсягу експорту цукру в 2004 році: ,

де - оцінка дисперс залишків, n - кількість спостережень, k - кількість параметрів рівняння.

Критичне значення двостороннього t критерію для імовірност 0,95 та числа ступенів свободи ( n 2 ) = 5 – 2 = 3 становить

 tsp = 3,18 . 1,38 = 4,39 довірчий інтервал прогнозного рівня 55,5 ± 4,39 тис. т. Це означає, що в 2004 році можна з імовірністю 0,95 очікувати обсяг експорту цукру не менше 51,11 тис. т але не більше 59,89 тис. т.

Індекси

1. Маємо дані за споживчим ринком міста про середні ціни та обсяги реалізації продукції:

Таблиця 27.

Обчислити:

a)         ндивідуальн ндекси цін на кожний товар;

b)         загальн ндекси цін, обсягів та товарообігу на всі товари в цілому, причому перші два за схемами індексів Пааше та Ласпейреса;

c)         показати взаємозв’язок індексів;

d)         абсолютний приріст товарообігу в цілому та за рахунок факторів: рівня цін та обсягів реалізованих товарів.

Розв’язання.

Для розвязання задачі перенесемо дані таблицю 17 в таблицю 18. Туди ж записуватимемо розрахункові дані, необхідні для обчислення індексів.

     Таблиця 28.

Індивідуальн ндекси цін на кожний товар:

Ціна товару А в квітні порівняно з березнем зменшилася на 7 %, тоді як ціна товару В зросла на 3 %.

Загальний індекс товарообігу

Загальний індекс цін на обидва товари в цілому за схемою індексів Пааше:  

В загальному ціни зменшилися на 0,6 %.

Загальний індекс цін на обидва товари в цілому за схемою індексів Ласпейреса:

В загальному ціни зменшилися на 0,4 %.

Загальний індекс обсягу реалізованих товарів в цілому за схемою індексів Пааше:  

В загальному обсяг реалізації збільшився на 14,8 %.

Загальний ндекс обсягу реалізованих товарів в цілому за схемою індексів Ласпейреса:

В загальному обсяг реалізації збільшився на 15,0 %.

В даному приклад ндекси Ласпейреса мають дещо більше значення ніж індекси Пааше.

Відомо, що  Індекс товарообігу дорівнює добутку індексу цін, розрахованому як індекс Пааше, та індексу обсягу, розрахованому як індекс Ласпейреса, і навпаки. Перевірте це самостійно.

Абсолютну зміну товарообігу в цілому та за рахунок факторів можна як різницю між чисельником та знаменником відповідного індексу.

За рахунок зміни цін на товари величина товарообігу зменшилась на 150 грн., а за рахунок зміни обсягів -  збільшилася на 3400 грн., що в загальному склало збільшення товарообігу на 3250 грн.

2. Дані про динаміку випуску та цін трьох товарів – представників продукції галузі вміщено в таблиці:

Таблиця 29.

Знайти:

a)         зведен ндекси цін та обсягів за трьома товарами;

b)         середньорічний приріст цін у цілому за трьома товарами.

Розв’язання.

Таблиця 30.

Використаємо для обчислення індексу цін формулу середньозваженого гармонічного індексу:

Отже, ціни зросли на 3,5 %.

 Вартість товарів збільшилась на 15,6 5. Використовуючи зв’язок між індексами, знайдемо індекс обсягу:

 Обсяги товарів збільшились на 11,6 5. Цей індекс можна було знайти як середній арифметичний індекс з ндивідуальних індексів обсягу для кожного товару з вагами – товарообігом базисного періоду. Проте нам не відомі індивідуальні індекси обсягів, і для обчислення шуканої величини ми використовуємо зв’язок між індексами.

Середній темп приросту: де середньорічний темп росту. Період з 1996 по 1999 рік складається з трьох років, тобто    n =3, підкореневий вираз – базисний темп росту цін, в якості якого ми використовуємо обчислений індекс – 1,035. Таким чином,

В середньому з кожним роком ціни зростали на 1,153 %.

3. За наведеними в таблиці даними обчислити:

a)         ндекси середньої матеріаломісткості продукції змінного та фіксованого складу;

b)         ндекс впливу структурних зрушень;

c)         зміну загального обсягу матеріальних витрат і в тому числі за рахунок окремих факторів.

Таблиця 31.

Розв’язання.

Таблиця 32.

Спочатку обчислимо матеріаломісткість, розділивши величину матеріальних витрат на вартість виробленої продукції. Дані розрахунків запишемо в таблицю.

тис грн. )

тис грн. )

тис грн. )

Середня матеріаломісткість продукції збільшилась на 25,6 %, за рахунок збільшення матеріаломісткості на окремих підприємствах – на 26,4 %, а за рахунок змін в обсягах виробництва – на 0,6 % зменшилася. При цьому в цілому матеріальн витрати збільшилися на 233,2 тис грн., за рахунок збільшення матеріаломісткост на 198, 6 тис грн., а за рахунок змін обсягів виробництва – на 34, 6 тис грн.