Учебное пособие: Статистика

7.1.Понятие абсолютной величины в статистике.

7.2.Виды и взаимосвязи относительных величин.

8.Средние величины.

8.1.Сущность и значение средней величины.

8.2.Виды средних величин и методы их расчёта.

8.3.Структурные средние величины.

Методические указания:

Статистические показатели имеют взаимосвязанные количественную и качественную стороны. Качественная сторона показателя отражается в его содержании, не относясь к конкретному размеру признака, например, в раскрытии того, что представляют собой товарооборот, издержки обращения. Количественная сторона статистического показателя – это его числовое значение.

Функции, которые выполняют статистические показатели:

- познавательная.

- управленческая (контрольно-организаторская).

- стимулирующая функция.

Показатели, исчисляемые в статистической практике, можно подразделить на группы по следующим признакам:

1)         по сущности изучаемых явлений статистические показатели бывают объёмные, характеризующие размеры процессов, и качественные, выражающие собой количественные соотношения, типичные свойства изучаемых явлений (уровень производительности труда).

2)         По степени агрегирования явлений бывают индивидуальные, характеризующие единичные процессы, и обобщающие, отображающие совокупность в целом или её части.

3)         В зависимости от характера изучаемых явлений бывают интервальные и моментные. Интервальные показатели – это данные, выражающие развитие явлений за отдельные периоды времени (товарооборот за месяц, за квартал). Они характеризуют процесс изменения признака. К моментным относят те из них, которые отражают состояние явления на определённую дату (момент). Это может быть величина товарных запасов, число предприятий на начало периода. Если интервальные показатели можно суммировать, то приведённые на конкретную дату складывать чаще всего нецелесообразно.

Абсолютные показатели получаются путём непосредственного суммирования исходных данных, они характеризуют численность совокупности и объём (размер) изучаемого явления в конкретных границах времени и места. Абсолютными величинами измеряются все стороны общественной жизни.

По способу выражения размеров изучаемых явлений абсолютные величины подразделяются на индивидуальные и суммарные.

Относительные величины в статистике представляют собой частное от деления двух статистических величин и характеризуют количественное соотношение между ними.

Относительная величина динамики характеризует изменение явления во времени и показывает, во сколько раз увеличился (или уменьшился) уровень показателя по сравнению с каким-либо предшествующим периодом.

Степень выполнения плана оценивается с помощью относительной величины выполнения плана, которую получают отношением фактического уровня показателя в отчётном периоде к его уровню, запланированному на этот же период.

Связь между относительными величинами планового задания, выполнения плана и динамики:

 - фактический уровень показателя в базовом периоде;

 - планируемый уровень показателя на отчётный период;

 - фактический уровень показателя в отчётном периоде;

Относительная величина планового задания = .

Относительная величина выполнения плана = .

Относительная величина динамики = .

Относительные величины структуры характеризуют долю отдельных частей в общем объёме совокупности. Их рассчитывают как отношение числа единиц (или объёма признака) в отдельных частях совокупности к общей численности единиц (или объёму признака) по всей совокупности.

Относительные величины координации характеризуют соотношение между частями одного целого. Например, соотношение между численностью городского и сельского населения области.

Относительные величины наглядности отражают результаты сопоставления одноимённых показателей, относящихся к одному и тому же периоду (или моменту) времени, но к разным объектам или территориям. Они применяются для сравнительной оценки уровня развития стран и регионов, при оценке результатов деятельности отдельных предприятий отрасли.

Относительные величины интенсивности – это отношения между разноимёнными абсолютными величинами. Например, показатели жизненного уровня населения, к которым относятся показатели потребления продуктов питания и непродовольственных товаров на душу населения в расчёте на 100 семей или 1000 человек населения. Главное требование при исчислении относительных величин: обеспечить сопоставимость сравниваемых величин по методологии расчёта сравниваемых показателей и по степени охвата объектов исследуемой совокупности.

Средние величины – это обобщающие показатели, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массового наблюдения (сплошного или выборочного). При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. Средняя - величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности.

Введём обозначения: признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается ;

Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальным его значением или вариантами и обозначается .

Частота – это повторяемость индивидуальных значений признака .

Виды средних величин:

1.         Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней. Она исчисляется тогда, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистического совокупности. Она бывает:

а) средняя арифметическая простая

.

Используется, когда дан ряд одиночных значений признака, то есть нет повторений.

б) Средняя арифметическая взвешенная применяется, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака (то есть сгруппировав), подсчитывают число случаев повторения каждого из них. Для этого умножают варианты на частоты – это в статистике называется взвешиванием.

.

Средняя арифметическая взвешенная употребляется во всех случаях, когда варианты имеют различную частоту. Простую среднюю арифметическую употреблять в этом случае нельзя, это неизбежно приведёт к искажению статистических показателей.

Часто средние величины необходимо подсчитать не для конкретных значений, а для интервалов. Для этого сначала нужно определить середину каждого интервала, а потом подсчитать среднюю арифметическую взвешенную.

2. Средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической. Она применяется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение.

а) Средняя гармоническая простая применяется, когда объёмы явлений (то есть произведения) равны по каждому признаку:

.

б) Средняя гармоническая взвешенная:

.

w – суммарный показатель какого-либо признака. (например, сумма реализации по какому-либо товару).

3. Средняя геометрическая – величина, используемая как средняя из отношений или в рядах, представленных в виде геометрической прогрессии. Ей удобно пользоваться, когда внимание уделяется не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел (относительные величины). Она используется в расчётах среднегодовых темпов роста.

а) средняя геометрическая простая

,

П – знак произведения.

б) средняя геометрическая взвешенная

.

4. Средняя хронологическая применяется на практике для определения средних показателей на определённую дату (период): определение среднегодовой численности населения, среднегодовой численности скота, среднего размера остатков оборотных средств, среднесписочного числа рабочих и служащих. Исчисляется по формуле:

,

где Х – абсолютные уровни,

n – число абсолютных уровней.

5. Средняя квадратическая – вместо значений признака используются его квадраты.

а) средняя квадратическая простая

.

б) средняя квадратическая взвешенная

.

Любая взвешенная употребляется тогда, когда варианты имеет различную частоту. Употребление невзвешенной (простой) недопустимо. Вопрос о весах определяется по исходным данным.

Структурные средние применяются для характеристики внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. Это мода и медиана.

Мода (МО) это чаще всего встречающийся вариант, это то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

В дискретном ряду распределения это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота, соответствующая модальному интервалу;

- частота, предшествующая модальному интервалу;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (МЕ) – величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Для интервального ряда медианное значение, делящее всю совокупность на две равные части находится в интервале, чья кумулятивная частота (сумма накопленных частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Для этого применяется формула:

,

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

 - полусумма частот ряда;

 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу.

Решение типовых задач

Задача 1.

На основании следующих исходных данных (табл. 1, графы 1 и 2) о производстве мыла и моющих средств предприятием за отчётный период определить общее количество выпущенной продукции в условно-натуральных единицах измерения (за условную единицу измерения принять мыло 40%-й жирности):

Таблица 1

Общий объём производства мыла и моющих средств по видам

Ход решения:

Для определения общего количества выпущенной предприятием продукции необходимо исчислить коэффициенты перевода. Если условной единицей измерения является мыло 40%-й жирности, то это значение жирности принимается равным единице. Расчёт коэффициентов перевода представлен в графе 3. Далее определим количество продукции в условно-натуральных единицах измерения (графа 4) путём перемножения данных граф 2 и 3.

Вывод: Общий объём производства мыла и моющих средств в 40%-м исчислении составил 4625 кг.

Задача № 2.

По данным о розничном товарообороте определить относительные величины выполнения договорных обязательств, динамики, координации.

Таблица 1

Ход решения:

Вывод: Универмаг «Крым» недовыполнил обязательства на 0,7 %, а универмаг «Центральный» перевыполнил обязательства на 2,6 %. Товарооборот универмага «Крым» в отчётном году вырос на 6,3 %, а «Центрального» – на 9,1 %. В базисном году на 1 млн. грн. универмага «Крым» приходилось 1,375 млн. грн. универмага «Центральный», а в отчетном соответственно 1,4 млн. грн.

Задача № 3.

Имеются следующие данные о выполнении норм выработки рабочими.

Определите моду и медиану.

Таблица 1

Ход решения:

1. Определим моду:

;

.

2.Определим медиану:

Вывод: мода равна 104,2%, медиана равна 104,58%.

Задача № 4.

На протяжении недели два акционерных банка, которые продавали акции по цене 2,0 и 3,0 грн. за одну, получили одинаковую выручку: по 1200 грн. Определить среднюю цену акции.

Ход решения:

Средняя цена акции определяется делением общей выручки двух банков (2400) на общее количество проданных акций (1000 шт.), вычисленную делением выручки каждого банка на цену акции: (1200/2) + (1200/3).

Расчёт можно представить в виде формулы:

,

где  - цена акций;  - выручка от реализации.

 грн.

Поскольку выручка от реализации акций в двух банках одинакова (), то эту величину можно вынести за скобки в числителе и знаменателе и сократить:

 грн.

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача № 5.

Введение в действие жилья населением за свой счёт характеризуется следующими коэффициентами снижения (относительно предыдущего года):

Таблица 1

Определить среднегодовой коэффициент снижения объемов введённого в действие жилья населением за свой счёт за 2000-2002 гг.

Задача 6.

Урожайность и валовой сбор ячменя бригадами совхоза «Заря» характеризуется следующими данными: Определить среднюю урожайность ячменя по совхозу.

Таблица 1

Задача № 7.

Плодоконсервным заводом выработано за месяц помидоров маринованных 30 тысяч банок объёмом 801 см³ и томатного сока 60 тысяч банок объёмом 200 см³.

Определите объём выработанной продукции в условно-натуральных единицах, т.е. в банках емкостью 353,4 см ³.

Задача № 8.

Численность населения Донецкой области составляет 5 267 000 чел., а в Киевской – 1 912 000 чел. Определить относительную величину сравнения. Сделать статистический вывод.

Задача № 9.

В Украине родилось за год 442,6 тыс. детей, среднегодовая численность населения – 50,9 млн. чел. Определить относительную величину интенсивности. Сделать статистический вывод.

Тесты для закрепления материала

Тест 1

Величина средней арифметической зависит от:

а) величины частот;

б) соотношения между частотами;

в) величины вариант.

Тест 2

Средние значения признака в двух совокупностях одинаковые. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях разной:

а) да;

б) нет.

Тест 3

Средние значения признака в двух совокупностях различны. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях одинаковой:

а) да;

б) нет.

Тест 4

К средним структурным величинам в статистике относят:

а) мода;

б) медиана;

б) варианта.

Тест 5

Мода – это:

а) наиболее часто встречающаяся величина признака в совокупности;

б) средняя структурная квадратическая;

Тест 6

Абсолютные величины выражаются в таких единицах измерения:

а) килограммах, метрах, тоннах, штуках;

б) коэффициентах, процентах, промилле.

Тест 7

Абсолютные показатели – это показатели, которые выражают:

а) размеры, объёмы, уровни социальных явлений и процессов;

б) числовые соотношения, характерные для конкретных социальных явлений.

Тест 8

Виды абсолютных величин:

а) индивидуальные, суммарные;

б) структуры, интенсивности, координации.

Тест 9

Относительными показателями называются показатели, которые выражают:

а) размеры, объёмы, уровни социальных явлений и процессов;

б) числовые соотношения, характерные для конкретных социальных явлений.

Тест 10

Относительные величины выражаются в:

а) килограммах, метрах, тоннах, штуках;

б) коэффициентах, процентах, промилле.

Тест 11

Виды относительных величин:

а) индивидуальные, суммарные;

б) динамика выполнения плана, планового задания.

Литература

1.   Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.Ш., Сторожук В.П., Ткач Є.Ш. – К.: Либідь, 2001. - 320 с.

2.   Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач та ін. 2-е вид.,перероб. і доп. – К. : КНЕУ, 2000. – 467 с.

3.   Захожай В.Б., Попов І.І., Коваленко О.В. Практикум з основ статистики: Навч. посіб. – К.: МАУП, 2001.- 176 с.

Тема 5. Анализ рядов распределения

План лекционных занятий

9.Ряды распределения.

9.1.Виды рядов распределения.

9.2.Основные характеристики и графическое изображение вариационного ряда.

10.Показатели вариации.

10.       1.Понятие вариации и основные показатели.

10.2.Математические особенности дисперсии.

10.3.Виды дисперсий.

Методические указания:

В результате обработки и систематизации первичных статистических материалов получаются ряды цифровых статистических показателей, которые характеризуют отдельные стороны изучаемых явлений. Эти ряды называются статистическими.

Статистические ряды бывают двух видов: ряды распределения и ряды динамики.

      Статистические ряды

          Ряды распределения                                           Ряды динамики

Атрибутивные              Вариационные

                           Дискретные           Непрерывные

(Интервальные)

Ряды распределения – это ряды, которые характеризуют распределение единиц совокупности по какому-либо признаку (например, распределение производственного оборудования по видам и срокам службы). Ряд распределения состоит из двух элементов: вариант – значений группировочного признака  и частот – число повторений отдельных вариантов значений признака. Частоты, представленные в относительном выражении, называют частостями и обозначают. Например, вместо абсолютного числа рабочих, имеющих определённый разряд, можно установить долю рабочих этого разряда. Частости могут быть выражены в долях единицы или в процентах. Замена частот частостями позволяет сопоставить вариационные ряды с различным числом наблюдений.

По характеру вариации различают дискретные и непрерывные признаки. Дискретные признаки отличаются друг от друга на некоторую конечную величину, то есть даны в виде прерывных чисел. Например, тарифный разряд рабочих, количество детей в семье, число рабочих на предприятии. Непрерывные признаки могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину и в определённых границах принимать любые значения. Например, заработная плата рабочих, стоимость основных фондов предприятия.

Атрибутивный ряд распределения образуется по качественному признаку (распределение рабочих по профессиям, машин – по маркам). Вариационный ряд распределения образуется по количественному признаку. Он состоит из вариант и частот. В дискретном ряде распределения отдельные варианты имеют определённые значения (распределение рабочих по разрядам). В тех случаях, когда число вариантов дискретного признака достаточно велико, а также при анализе вариации непрерывного признака, когда значения этого признака у отдельных единиц могут вообще не повторяться, строятся интервальные ряды распределения. Интервал указывает определённые пределы значений варьирующего признака и обозначается верхней и нижней границей интервала.

Различают ряды распределения с абсолютными, относительными и накопленными частотами. Накопленные частоты называют кумулятивными.

Если приведён вариационный ряд с неравными интервалами, то для правильного представления о характере распределения необходимо рассчитать плотность распределения. Плотность распределения – это количество единиц совокупности, приходящихся на единицу величины интервала группировочного признака. Различают абсолютную () и относительную () плотность:

,

,

где - частота;

- удельный вес;

- размер интервала.

По форме ряды распределения бывают одно- двух- и многовершинными. Среди одновершинных распределений есть симметричные и асимметричные (скошенные), остро- и плосковершинные.

Если частоты вариантов равноудалены от центра значений признака, то такой вариационный ряд называется симметричным. Если вершина распределения смещена, то есть частоты по обе стороны от центра изменяются неодинаково, то такой вариационный ряд называется асимметричным, или скошенным.

Вариация – это такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию случайную и систематическую. Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих е факторов. Показатель вариации – это колеблемость отдельных значений признака. Степень близости данных отдельных единиц  к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей. К абсолютным и средним относятся: вариационный размах, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение, дисперсия. К относительным: коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

Вариационный размах – это разница между максимальным и минимальным значениями признака: . Он характеризует диапазон вариации. Его достоинства: простота вычисления и толкования.

Обобщающую характеристику может дать только средняя величина, в частности, средняя из отклонений вариантов от их средней, которая называется среднее линейное отклонение. Оно учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности и определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учёта знака этих отклонений:

 ,

или для сгруппированных данных:

.

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности.

Дисперсия () – средний квадрат отклонений, определяется как средняя из отклонений, возведённых в квадрат :

 или .

Формулу для расчёта дисперсии можно преобразовать следующим способом:

где - среднее значение квадратов признака,

- среднее значение признака.

Среднее квадратическое отклонение это корень квадратный из дисперсии, это мера надёжности средней.

.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются всегда величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины:

.

3. Коэффициент вариации:

.

Можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию, внутригрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

1) Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности.

,

где  - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

2) Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, возникающую под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних  около общей средней .

,

где  - средняя по отдельным группам;

 - численность отдельных групп.

3) Внутригрупповая дисперсия характеризует вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов:

,

где  - номер группы.

4) Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, неучитываемых факторов и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

,

где  - групповая дисперсия.

Правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

.

Решение типовых задач

Задача 1.

Имеются следующие данные о производительности ткачей за час работы.

Таблица 1

Исчислим:

1)   групповые дисперсии;

2)   среднюю из групповых дисперсий;

3)   межгрупповую дисперсию;

4)   общую дисперсию.

Ход решения:

1.    Для расчета групповых дисперсий исчислим средние по каждой группе:

Расчет дисперсий по группам представлен в таблице. Подставив полученные значения в формулу, получим:

2.    Рассчитаем среднюю из групповых (частных) дисперсий:

.

3.    Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

 м.

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

4.    Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

.

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

Задача №2.

Имеются данные о распределении работающих по тарифным разрядам.

Таблица 1

Определить дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Ход решения:

1.         Определяем среднюю величину по тарифному разряду:

.

2.         Определяем дисперсию:

.

3.         Среднее квадратическое отклонение:

.

4.         Определяем коэффициент вариации:

.

Вывод: Колеблемость среднего квадратического отклонения от средней составляет 23 %.

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача №3.

Имеются сведения о дневной выработке работников 4-го и 5-го разрядов.

Определить:

1.         Групповые дисперсии.

2.         Общую дисперсию.

3.         Среднюю из групповых.

4.         Межгрупповую дисперсию.

5.         Проверить полученные результаты по правилу сложения дисперсий. Сделать статистические выводы.

Таблица 1

Задача №4.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7