Учебное пособие: Статистика

С целью установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 10 кустах винограда:

Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых (частных) дисперсий. Определить связь между сортом и его урожайностью.

Задача №5.

Есть две группы людей с разным годовым доходом, тыс. грн.:

Группа А 3 3 3 4

Группа Б 6 6 7

В какую группу нужно отнести человека с годовым доходом 5 тыс. грн.

Тесты для закрепления материала

Тест 1

Различают виды дисперсий для совокупности, разбитой на группы:

а) групповая;

б) средняя из групповых;

в) взвешенная;

д) межгрупповая.

Тест 2

Вариация – это:

а) колеблемость признака;

б) квадрат отклонений признака;

в) модельный интервал.

Тест 3

В статистике  означает:

а) размах вариации;

б) дисперсия;

в) коэффициент вариации.

Тест 4

Вариантами называются:

а) отдельные значения группировочного признака;

б) величины, которые показывают повторяемость признака;

в) величины, которые показывают удельный вес единиц с определённым признаком в их общем количестве.

Тест 5

Построен ряд распределения акционерных банков по количеству выпущенных акций. Вариантой считается:

а) количество банков;

б) количество акций.

Тест 5

Больницы Украины разделены по количеству больничных мест. Частотой считается:

а) количество больничных мест;

б) количество больниц.

Тест 6

Средние значения признака в двух совокупностях одинаковые. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях разной:

а) да;

б) нет.

Тест 7

Средние значения признака в двух совокупностях различны. Может ли быть вариация признака в этих совокупностях одинаковой:

а) да;

б) нет.

Тест 8

Дисперсия представляет собой:

а) средний размер отклонений вариант;

б) средний квадрат этих отклонений;

Тест 9

Дисперсия может быть вычислена:

а) только для количественного признака;

б) для количественного и альтернативного признаков.

Литература

1.   Мармоза А.Т. Практикум з основ статистики. К.: Ельга, Ніка-Центр, 2003. – 344 с.

2.   Сборник задач по общей теории статистики. Учебное пособие. Изд. 2-е. /Под ред. Серга Л.К. – М.: Информационно-издательский дом «Филин», Рилант, 2001. – 360 с.

3.   Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.Ш., Сторожук В.П., Ткач Є.Ш. – К.: Либідь, 2001. - 320 с.

4.   Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач та ін. 2-е вид., перероб. і доп. – К. : КНЕУ, 2000. 467 с.

Тема 6. Выборочный метод

План лекционных занятий

11.Выборочное наблюдение.

11.1.Понятие выборочного наблюдения.

11.2.Методы и способы отбора единиц в выборочную совокупность.

12.Ошибки выборочного наблюдения.

12.1.Определение средней и граничной ошибок выборки.

12.2.Определение необходимого объёма выборки.

12.3.Распространение выборочных результатов.

Методические указания:

Одним из наиболее распространённых в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод. Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой её части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно 5-10 %, реже до 15 – 25 %).

Выборочное наблюдение – это вид несплошного наблюдения, по характеристике отобранной части единиц которого судят обо всей совокупности. Различают генеральную и выборочную совокупности. Генеральная совокупность - это общая масса единиц, по которой осуществляют отбор для исследования. Часть генеральной совокупности, которая отобрана для исследования, называют выборочной (выборкой).

Выборочный метод отличается от других видов несплошного наблюдения двумя признаками:

1.   Сначала определяют, какую часть единиц генеральной совокупности надо обследовать;

2.   Последовательность отбора единиц, который достаточной мерой представляет (репрезентует) размеры средних и относительных показателей генеральной совокупности.

Преимущества выборочного наблюдения:

·           Экономия времени;

·           Экономия средств вследствие сокращения объёма работ статистического исследования;

·           Сведение к минимуму порчи или уничтожения исследуемых объёктов (например, при контроле качества продукции (товара): определении сахаристости фруктов, клейковины в хлебе, прочности тканей на разрыв);

·           Обеспечение детального изучения каждой единицы наблюдения из-за невозможности охвата всех единиц;

·           Достижение высокой точности результатов наблюдения за счёт уменьшения ошибок регистрации.

Практика применения выборочного метода в экономико-статистических исследованиях использует следующие методы отбора единиц из генеральной совокупности:

1)   индивидуальный отбор – в выборку отбираются отдельные единицы;

2)   групповой отбор – в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;

3)   комбинированный отбор – комбинация индивидуального и группового отборов.

Повторная выборка – из которой ранее отобранная единица возвращается в генеральную совокупность и может повторно принимать участие в выборке. Но это не всегда возможно. Например, при определении сахаристости фруктов их разрезают, то есть возврат плодов в совокупность не возможен.

Бесповторная выборка – это выборка, из которой каждая ранее отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность и в дальнейшей выборке участия не принимает.

Бесповторный отбор даёт более точные результаты по сравнению с повторным, потому что одинаковые по объёму выборки при бесповторном исследовании охватывают больше единиц, чем повторные.

Способы формирования выборочной совокупности:

·           Случайный;

·           Механический;

·           Типический (стратифицированный);

·           Серийный (гнездовой);

Все виды отбора (кроме механического) могут быть повторными и бесповторными. Механический отбор всегда бесповторный.

Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности  к численности единиц генеральной совокупности :

.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной мере отличаться от состава генеральной совокупности. Это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Она зависит от ряда факторов:

·           степени вариации изучаемого признака;

·           численности выборки;

·           методов отбора единиц в выборочную совокупность;

·           принятого уровня достоверности результата обследования.

Для определения средней ошибки репрезентативности собственно случайной и механической выборки используют формулы, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Средняя ошибка репрезентативности

где  - средний квадрат отклонений в выборке;

 - численность выборочной совокупности;

 - численность генеральной совокупности;

 - доля обследованной части выборочной совокупности;

 - необследованная часть генеральной совокупности;

 - доля единиц, имеющих данный признак;

 - доля единиц, не обладающих данным признаком.

Для обобщающей характеристики ошибки выборки наряду со средней рассчитывают и предельную ошибку выборки. Но утверждать, что данная генеральная средняя не выйдет за пределы средней ошибки выборки можно лишь с определённой степенью вероятности. В случае выборочного наблюдения предельная ошибка репрезентативности  может быть больше, равна или меньше средней ошибки репрезентативности . Поэтому предельную ошибку репрезентативности вычисляют с определённой вероятностью , которой соответствует - разовое значение . С введением показателя кратности ошибки  формула предельной ошибки репрезентативности имеет вид:

; ,

где  - коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой гарантируется значение предельной ошибки выборки.

Прибавляя предельную ошибку выборки к выборочной доле и отнимая её от неё, находят границы генеральной доли:

 и .

В таблице 2 показаны формулы для вычисления предельной ошибки собственно случайной и механичной выборки.

Таблица 2

Предельные ошибки выборки

где  - предельная ошибка выборки для средней;

 - предельная ошибка выборки для доли.

Во время выборочного наблюдения важно правильно определить необходимую численность выборки, которая с соответственной вероятностью обеспечивает установленную точность результатов наблюдения.

Формулы для определения необходимого объёма выборки представлены в таблице 3.

Таблица 3

Численность выборки

Конечной целью какого-либо выборочного наблюдения является расширение его характеристик на генеральную совокупность. Выделяют два способа распространения данных выборочного наблюдения: 1) прямого пересчёта; 2) коэффициентов.

Решение типовых задач

Задача 1.

При разработке материалов городского населения методом случайного бесповторного отбора было установлено, что в городе А 15% жителей старше 60 лет. Из общей численности населения города (500 тыс. чел.) было отобрано 50 тыс. чел. С вероятностью 0,683 определите предел, в котором находится доля жителей города А в возрасте старше 60 лет.

Определите среднюю ошибку выборочной доли.

Ход решения:

Рассчитаем среднюю ошибку выборочной доли:

.

Мы использовали формулу

.

С вероятностью 0,683 предельная ошибка выборочной доли составит:

Δ = 1 х 0,048 = 0,048 (или 4,8%)

Определим верхнюю границу генеральной доли:

0,15 + 0,048 = 0,198 (или 19,8%)

Определим нижнюю границу генеральной доли:

0,15 – 0,048 = 0,102 (или 10,2%)

Вывод: С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей в возрасте старше 60 лет в городе А колеблется от 10,2 до 19,7%.

10, 2% < р < 19,8%

Задача № 2.

Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 2 мм с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 8 мм.

Ход решения:

Таблица 1

Значения коэффициента доверия при выбранной вероятности

Рассчитаем необходимую численность выборки:

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача №3.

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.

Задача № 4.

При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном повторном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.

Задача № 5.

Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню среднедушевого дохода (выборка 2 %-ная, механическая) малообеспеченными оказалось 300 семей. С вероятностью 0,997 определите долю малообеспеченных семей в регионе.

Тесты для закрепления материала

Тест 1

При механической выборке установлено, что в 50 партиях сыра среднее содержание влаги составило 74 %, при среднем квадратическом отклонении 1,5 %. Какие из нижеприведённых показателей нужно вычислить, чтобы установить границы влаги в сыре в генеральной совокупности:

а) дисперсию;

б) размах вариации;

в) граничную ошибку выборки;

г) коэффициент вариации.

Тест 2

Средняя ошибка выборки вычисляется с целью:

а) изучения вариации признака;

б) определения среднего значения признака, который исследуется;

в) определения коэффициента роста;

г) установление возможных границ отклонений средней генеральной от средней выборочной.

Тест 3

Чтобы уменьшить среднюю ошибку выборки в два раза, объём случайной повторной выборки нужно:

а) увеличить в два раза;

б) увеличить в четыре раза;

в) уменьшить в два раза;

г) уменьшить в четыре раза.

Литература

1.   Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.Ш., Сторожук В.П., Ткач Є.Ш. – К.: Либідь, 2001. - 320 с.

2.   Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач та ін. 2-е вид., перероб. і доп. – К. : КНЕУ, 2000. 467 с.

3.   Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник /Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. – 5-е изд, доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 440 с.

4.   Захожай В.Б., Попов І.І., Коваленко О.В. Практикум з основ статистики: Навч. посіб. – К.: МАУП, 2001. - 176 с.

Тема 7. Статистическая проверка гипотез

План лекционных занятий

13. Статистическая проверка гипотез.

13.1.   Общие понятия о гипотезе.

13.2.   Этапы работы по статистической проверке гипотез.

14. Дисперсионный анализ.

14.1. Критерии согласия.

14.2. Элементы дисперсионного анализа.

Методические указания

Гипотеза – это научное предположение об особенностях явлений, которые их определяют, требующее проверки и доказательства.

Статистическая гипотеза – это определенное предположение, касающееся параметров или формы распределения генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на результаты выборочного наблюдения. Суть проверки гипотез заключается в том, чтобы проверить, согласуются или нет результаты выборки с гипотезой, случайными или неслучайными являются расхождения между гипотезой и данными выборки.

При проверке гипотез имеется возможность совершить ошибки двоякого рода:

а) ошибка первого рода проверяемая гипотеза (её обычно называют нулевой гипотезой) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от неё;

б) ошибка второго рода проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к её принятию.

Чаще всего гипотеза, которую необходимо проверить, формулируется как отсутствие расхождений между неизвестным параметром генеральной совокупности  и заданной величиной  (нулевая гипотеза), обозначается . Содержание гипотезы записывается после двоеточия, например .

Статистическим критерием называется правило, согласно которому нулевая гипотеза принимается или отклоняется. Для каждого вида проверяемых гипотез разработаны специальные критерии, среди которых чаще всего используют - критерий нормального распределения и распределения Стьюдента, -критерий Фишера,  распределения Пирсона («хи-квадрат») и другие.

Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:

1)         Сформулировать проверяемую гипотезу . Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая гипотеза (альтернативная);

2)         выбрать уровень значимости , контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;

3)         определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4)         принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.

Уровень значимости () – это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Статистические критерии, используемые для проверки гипотез, бывают двух видов:

1)   Параметрическими называю критерии, которые обосновываются на допущении: распределение случайной величины в совокупности подчиняется какому-либо известному закону (например, нормальному, биноминальному, Пуассона). К таким критериям относятся критерии .

2)   Непараметрическими (порядковыми) называют критерии, использование которых не связано со знанием закона распределения случайной величины. Их можно использовать тогда, когда распределение значительно отличается от нормального. К таким критериям относятся критерий знаков Вилкоксона, Уайта, Манна-Уитни.

Параметрические критерии значительно эффективнее непараметрических.

Мощность критерия – это вероятность отклонения испытуемой нулевой гипотезы, когда правильною является альтернативная гипотеза. То есть мощностью критерия является вероятность того, что не будет допущена ошибка. Конечно, желательно иметь более мощный критерий, так как это обеспечит минимальную вероятность допущения ошибки второго рода.

Этапы работы по проверке статистической гипотезы:

1)   оценка входной информации и описание статистической модели выборочной совокупности;

2)   формирование нулевой и альтернативной гипотезы;

3)   установление уровня значимости, с помощью которого контролируют ошибку первого рода;

4)   выбор мощного критерия для проверки нулевой гипотезы (это даёт возможность контролировать появление ошибки второго рода);

5)   вычисление по определённому алгоритму фактического значения критерия;

6)   определение критической области и области согласия с нулевой гипотезой, то есть установление табличного значения критерия;

7)   сравнение фактического и табличного значений критерия и формулирование выводов по результатам проверки нулевой гипотезы.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы на ожидаемый закон неизвестного распределения в генеральной совокупности. Есть ряд критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова, Ястремского. Эти критерии дают возможность установить: согласуются или нет опытные распределения с теоретическими, а также насколько существенны расхождения между распределениями.

Одним из наиболее употребляемых критериев согласия является критерий К. Пирсона («Хи-квадрат»):

,

где  - соответственно частоты эмпирического и теоретического распределения в - том интервале.

Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше величина критерия Пирсона. Чтобы отличить существенные значения  от значений, которые могут возникнуть в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным значением  при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости.

Определив значение критерия Пирсона по данным конкретной выборки, можно встретиться с такими вариантами:

1)    , то есть  попадает в критическую область. Это означает, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных. В таком случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному отвергается.

2)    , то есть рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

Табличное значение критерия Пирсона определяется при фиксированном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы.

Число степеней свободы = , где - число условий, которые предполагаются выполненными при вычислении теоретических частот,  - число групп. Понятие числа степеней свободы связано с тем, что в статистических совокупностях приходится учитывать линейные связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Например, при исчислении дисперсии в совокупности мы располагаем  степенями свободы, так как любое значение признака мы можем определить, зная  значений и среднюю арифметическую.

Дисперсионный анализ – это метод статистической оценки надёжности выявления зависимости результативного признака от одного или нескольких факторов. Суть этого метода заключается в статистическом изучении надёжности влияния одного или нескольких факторов, а также их взаимодействия на результативный признак.

С помощью дисперсионного анализа решаются три задачи:

1.    дать общую оценку существенности отличий между групповыми средними.

2.    Оценить надёжность взаимодействия факторов.

3.    Оценить существенность отличий между парами средних.

Решение задач дисперсионного анализа базируется на законе сложения вариации, соответственно которому общую вариацию (колебание) результативного признака разделяют на две: вариацию, обусловленную действием исследуемого фактора (факторов), и вариацию, обусловленную действием случайных причин, то есть: .

Дисперсии двух выборок сравнивают, используя критерий Фишера -  - критерий. Для этого вычисляют отношение большей выборочной дисперсии к меньшей:

.

Если  - критерий равен 1, то это указывает на равенство дисперсий, и вопрос о существенности их расхождений снимается. Если же величина дисперсионного отношения больше 1, то возникает необходимость оценить, случайно ли расхождение между дисперсиям. При этом очевидно: чем больше величина дисперсионного отношения, тем значительнее расхождение между ними.

Решение типовых задач

Задача 1.

В пригородном хозяйстве испытали рацион с добавкой витаминов при мясном откорме животных. Были организованы опытная и контрольная группа по 5 голов в каждой. На протяжении месяца опытная группа животных получала дополнительно комплекс витаминов. В конце месяца для каждого животного был определён прирост живой массы (табл.1). Сравнение средних суточных приростов в двух группах животных показывает, что более высокий суточный прирост дали животные исследуемой группы. Так как выборка невелика (), не исключена возможность, что расхождение в суточных приростах обусловлено действием случайных причин. Необходимо статистически оценить разницу между средними двух групп животных. По результатам проверки сделать вывод о том, что разница между средними находится в границах случайных колебаний или эта разница настолько значима, что не согласуется с нулевой гипотезой о случайном характере разницы между средними. Если будет доказано второе положение и отклонено первое, можно утверждать, что условия роста массы животных опытной группы существенно отличаются от условий контрольной группы, то есть комплекс витаминов стимулирует суточный прирост.

Таблица 1

Ход решения:

Условие задачи предусматривает, что обе выборки взяты из нормально распределённой генеральной совокупности. Формирование групп является случайным (независимым), поэтому оценивать следует разницу между средними.

Определим средние суточные приросты в опытной и контрольной группах:

Фактическая разница между средними:

.

Существенность этой разницы нужно оценить. Для этого проверяют гипотезу о равности двух средних.

Рассмотрим подробно все этапы проверки гипотезы.

1.   Сформулируем нулевую () и альтернативную () гипотезы:

. (Знак «двоеточие» означает «равно»)

2.   Примем уровень значимости ; он гарантирует принятие гипотезы или отказ от неё с вероятностью ошибки только в 5 случаях из 100.

3.   Самым мощным критерием для проверки такой гипотезы  является -критерий Стьюдента (для малых выборок).

4.   Сформулируем правило принятия решения по результатам проверки : гипотеза  отклоняется, если фактическое значение -критерия будет больше его табличного значения, то есть, если . В противном случае  должна быть принята.

5.   Чтобы проверить , необходимо определить фактическое значение критерия Стьюдента и сравнить его с табличным.

Фактическое значение -критерия Стьюдента определим по формуле:

,

где  - обобщающая средняя ошибка разницы средних.

Для определения фактического значения -критерия Стьюдента осуществим такие расчёты.

6. Определим для каждой выборки скорректированные на потерю числа степеней свободы вариации дисперсии, возводя сначала значения  и  в квадрат.

7.Определим квадраты средних шибок для каждой выборки и обобщающую среднюю ошибку разницы средних:

8.Вычислим фактическое значение критерия Стьюдента:

9.Установим табличное значение критерия Стьюдента, исходя из уровня значимости  и общего числа степеней свободы для двух выборок:

В таблице  при  и  равно .

10. Сопоставим фактическое и табличное значение критерия Стьюдента:

Вывод: Так как (выборочное значение критерия пребывает в критической области), нулевую гипотезу о равенстве средних в генеральной совокупности нужно отклонить и принять альтернативную гипотезу о том, что средние в генеральных совокупностях не являются равными. То есть данные опыта не согласуются с гипотезой о том, что разница между средними приростами случайна. Фактическое значение критерия Стьюдента превышает его возможную теоретическую величину, которая измеряет случайное колебание, что даёт возможность сделать вывод о существенности (достоверности) разницы между средними. Добавка комплекса витаминов в рацион стимулирует повышение среднесуточных приростов.

Задачи для самостоятельного выполнения

Задача №2.

В полевом опыте проверяли влияние разных компонентов минеральных удобрений на урожайность хмеля.

Таблица 1 Урожайность хмеля, ц/га

На контрольных участках вносили фосфор и калий (), а на опытных дополнительно азот (). Опыт проведён при пятикратной повторности. При распределении повторений опыта учли отличия участков по плодородию грунта, микрорельефу и другим условиям. Поэтому выборки можно рассматривать как независимые.

Необходимо проверить статистическую гипотезу относительно средней разницы между парами взаимосвязанных наблюдений в генеральной совокупности.

Задача № 3.

Расчёт характеристик вариационного ряда распределения 100 предприятий по размеру прибыли показал, что эмпирическое распределение достаточно близко к симметричному и характеризуется такими параметрами:

1)         средняя прибыльность 27,5 тыс. грн;

2)         выборочное среднее квадратичное отклонение прибыльности =6,6 тыс. грн.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7